Solidi Platonici

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Solidi Platonici

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.

Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo Galilei

Ognuno di noi nel proprio percorso scolastico ha avuto materie amate e materie odiate. Ciascuno preferiva studiare alcune cose e altre non le comprendeva proprio. Io non riuscivo proprio a imparare le nozioni a memoria, e mi è sempre mancato un approccio pratico alle varie materie, per qualche motivo si studia solo fra i libri… mi sarebbe tanto piaciuto imparare anche con le mani.

Ho sempre pensato, e ne sono ancora convinta, che la scuola dividendo in reparti stagni le varie materie obblighi gli studenti ad un approccio troppo sterile e noioso degli argomenti, quando basta prendere un qualunque studioso del passato, per sapere che si occupava di matematica quanto di arte, quanto di letteratura, filosofia e musica.

Perché allora non provare a fare della nostra istruzione qualcosa di simile?

Con questi pensieri ho provato a svolgere la mia tesina delle superiori, sono ormai passati anni, ma ancora ricordo la meraviglia di scoprire i collegamenti fra le scienze naturali e la filosofia, fra le geometrie solide e le teorie artistiche. L’argomento che scelsi allora, e che oggi vi ripropongo sperando di incuriosirvi, sono:

I Solidi Platonici

I solidi platonici sono strutture geometriche solide, fra le più famose e amate fin dall’antichità. Così chiamati per la loro apparizione nel Timeo di Platone, dove il filosofo ateniese descrive i cinque poliedri regolari e le loro proprietà, assumendoli come forme dei quattro elementi.

I solidi platonici sono 5: Tetraedro, Ottaedro, Icosaedro, Esaedro (più comunemente noto come “cubo”) e Dodecaedro.

Matematicamente sono gli unici poliedri regolari convessi… ma andiamo con ordine.

I solidi di Platone sono considerati i cinque poliedri “perfetti”; essi hanno lo stesso aspetto da ogni vertice, le loro facce sono tutte costituite dalla medesima forma regolare ed ogni spigolo è identico. I loro vertici sono le distribuzioni più simmetriche di quattro, sei, otto, dodici e venti punti su una sfera.

Il cubo , con le sue sei facce quadrate, è noto. Gli altri quattro hanno nomi che derivano dal numero delle loro facce. Le facce di tre di essi sono triangoli equilateri: il tetraedro ne ha quattro, l’ottaedro otto, l’icosaedro venti. Il dodecaedro ha dodici facce pentagonali regolari.

Un poligono regolare ha i lati e gli angoli uguali. Un poliedro regolare ha facce di poligoni regolari e vertici identici.  I cinque solidi platonici sono gli unici poliedri regolari convessi.

Per fare un angolo solido occorrono almeno tre poligoni. Usando triangoli equilateri ciò è possibile con tre, quattro e cinque attorno ad un punto. Con sei il risultato è piatto. Tre quadrati formano un angolo solido, ma con quattro si raggiunge un limite simile a quello dei sei triangoli. Tre pentagoni regolari formano un angolo solido ma non c’è spazio per quattro o più, neanche in posizione orizzontale. Tre esagoni regolari che si incontrano in un punto si trovano in posizione orizzontale, e i poligoni più alti non possono incontrarsi con tre intorno a un punto così si raggiunge un limite finale. Dato che sono possibili solo cinque angoli solidi formati da poligoni regolari identici, ci sono al massimo cinque poliedri regolari possibili.

Incredibilmente tutti i cinque gli angoli solidi regolari si ripetono per formare i poliedri regolari!

Il tetraedro è composto da quattro triangoli equilateri, di cui tre si incontrano ad ogni vertice. I suoi vertici possono essere definiti anche dai centri di quattro sfere che si toccano. Platone associava la sua forma all’elemento fuoco a causa della penetrante acutezza dei suoi spigoli e dei suoi vertici, e perché è il più semplice e fondamentale dei solidi regolari. I Greci conoscevano il tetraedro anche come pyramis, da cui deriva la parola piramide. È curioso che la parola greca per fuoco sia pyr.

Ogni solido platonico è contenuto in una sfera circoscritta, che tocca ogni vertice. I solidi definiscono anche una sfera inscritta, contenuta nel solido, perfettamente tangente al centro di ogni faccia. Per ogni tetraedro il raggio della sfera inscritta è un terzo del raggio della sfera circoscritta.

L’ottaedro è costituito da otto triangoli equilateri. Di cui quattro si incontrano ad ogni vertice. Per Platone l’ottaedro era un intermediario tra il tetraedro, o fuoco, e l’icosaedro o acqua, e pertanto lo attribuiva all’elemento aria.

Platone ha attribuito all’elemento terra il cubo per via della stabilità delle sue basi quadrate. In linea con la nostra esperienza dello spazio, guarda in avanti, indietro, a destra, a sinistra, in alto e in basso, il che corrisponde alle sei direzioni nord, sud, est, ovest, zenit e nadir. Il pellegrinaggio annuale dell’Islam è alla Caaba, letteralmente il cubo, alla Mecca. Il santuario del tempio di Salomone era un cubo. Nel 430 a.C. l’oracolo di Delfi insegnò agli ateniesi a raddoppiare il volume dell’altare cubico di Apollo mantenendone la forma (tale problema è noto come “raddoppio del cubo”).

L’icosaedro è formato da venti triangoli equilateri, cinque per vertice. Quando il tetraedro, l’ottaedro e l’icosaedro sono formati da triangoli identici, l’icosaedro è il più grande. Ciò ha indotto Platone ad associare l’icosaedro all’acqua, il più denso e il meno penetrante dei tre elementi fluidi: fuoco, aria e acqua. L’angolo in cui due facce di un poliedro si incontrano ad uno spigolo è noto come angolo diedro. L’icosaedro è il solido platonico con i più grandi angoli diedri. Se unite le due estremità dello spigolo di un icosaedro al centro del solido, otterrete un triangolo isoscele. Questo triangolo è uguale a quelli che formano le facce della Grande Piramide di Giza in Egitto. Disporre dodici sfere uguali per definire un icosaedro lascia spazio al centro per un’altra sfera, grande come le altre per oltre nove decimi.

Il bel dodecaedro ha dodici facce pentagonali regolari, tre delle quali si incontrano ad ogni vertice. Come il tetraedro, o piramide, e il cubo, il dodecaedro, era noto ai primi pitagorici e ci si riferiva comunemente ad esso come alla sfera di dodici pentagoni. Dopo aver descritto dettagliatamente gli altri quattro solidi e averli attribuiti agli elementi, il Timeo di Platone dice enigmaticamente: “Restava una quinta combinazione, e Dio se ne giovò per decorare l’universo”. Un dodecaedro situato su una superficie orizzontale ha vertici che si trovano in quattro piani orizzontali che tagliano il dodecaedro in tre parti. È sorprendete che la parte centrale abbia lo stesso volume delle altre, così che ciascuna è un terzo del totale. “L’oro degli sciocchi” o pirite ferrosa, forma spesso dei cristalli con forma di dodecaedro pentagonale.

 

4 Elementi +1

Platone, parlando del “tetragono equilatero”, lo associa al fuoco perché: “di tutte queste forme, quella che ha il minor numero di basi è necessariamente la più mobile per natura, perché è la più tagliente e in ogni sua parte la più acuta di tutte, ed è anche la più leggera”. Platone associa poi l’ottaedro all’aria e l’icosaedro all’acqua. Va sottolineato da un lato quanto sia suggestiva l’associazione proposta da Platone, dall’altro il fatto che Platone vede un legame quasi necessario fra le forme geometriche “perfette” e la natura: “perciò conserviamo la verosimiglianza, attribuendo questa forma [il cubo] alla terra, e poi all’acqua la forma meno mobile delle altre, al fuoco la più mobile, e all’aria l’intermedia: e così il corpo più piccolo al fuoco, il più grande all’acqua, e l’intermedio all’aria, ed inoltre il più acuto al fuoco, il secondo per acutezza all’aria, il terzo all’acqua”.

Per quanto riguarda il quinto solido regolare, il dodecaedro, nell’Epinomide, sembra che Platone lo identifichi con il quinto elemento, l’etere. Infatti troviamo scritto: “com’è giusto, bisogna parlare anche di cinque corpi solidi, da cui si possono plasmare le più belle e le più perfette figure” e inoltre: “se cinque sono, dunque, i corpi, bisogna dire ch’essi sono il fuoco, l’acqua, e terza l’aria, quarta la terra, quinto l’etere, e che in questi cinque domìni si formano, numerosi e vari, i singoli esseri viventi”.

Natura in linguaggio matematico

Tetraedrite (Tetraedro)

Magari avrete notato che i cristalli e molte molecole di composti chimici si sviluppano, o si aggregano, nella struttura dei cinque solidi platonici. Con questa scoperta la scienza ha confermato la sacralità di queste cinque forme che sono diventate gli archetipi delle forme del regno minerale.

Il tetraedro, l’ottaedro e il cubo si trovano tutti nel regno minerale.

Pirite (Cubo)

Quasi tutti i minerali hanno una struttura cristallina, cioè un’impalcatura di atomi regolare e ordinata. Da questa struttura invisibile si origina la forma esterna del minerale, che è invece ben visibile e altrettanto regolare e che viene chiamata abito cristallino o cristallo. Un cristallo, quindi, è un solido geometrico con facce, spigoli e vertici che si originano per la crescita progressiva, atomo dopo atomo per miliardi di volte, di una struttura tridimensionale elementari di dimensioni infinitesime. Ogni volta che un minerale può accrescersi senza ostacoli si sviluppa in cristalli singoli, perfettamente formati. Se invece la crescita è ostacolata per lo sviluppo contemporaneo di altri cristalli, ne risulta una massa di individui fittamente aggregati, nei quali non è possibile riconoscere l’abito cristallino senza opportuni strumenti.

Magnetite (ottaedro)

L’accrescimento regolare dei cristalli richiede uniformità e costanza delle condizioni ambientali, presupposti che raramente si realizzano. Infatti, molto spesso si trovano cristalli con facce diversamente sviluppate, che non possiedono le forme tipiche di solidi geometrici regolari. Comunque dal punto di vista cristallografico, questi cristalli sono considerati regolari poiché è possibile ricondurli a cristalli modello, grazie a un’ideale traslazione delle facce parallelamente a se stesse.

I solidi platonici nell’arte

Nell’arte esistono molti riferimenti ai solidi platonici e ai poliedri già a partire dall’antichità.

Dodecaedro metallico di epoca romana

Il periodo storico in cui si ebbe il maggior utilizzo dei poliedri nell’arte fu certamente il Rinascimento. Il pittore e mosaicista fiorentino Paolo Uccello ha aiutato a stabilire le regole della prospettiva nell’arte del primo Rinascimento. Famosa la sua pavimentazione Ruota prospettica con poliedro inscritto che si trova nella Basilica di San Marco a Venezia. In questo mosaico anticipa di più di un secolo e mezzo la scoperta attribuita a Keplero del dodecaedro stellato.

Per secoli questi cinque solidi sono stati accettati per la grandezza del filosofo Platone ma incompresi per la mente del grande pubblico. Fanno eccezione gli artisti che subiscono il fascino delle forme e ne percepiscono l’essenza come Piero Della Francesca che nel 1492 scrisse il trattato “De Quinque Corporibus regolaribus” e lo dedicò al Duca di Urbino. Anche il frate matematico Luca Pacioli, amico di Leonardo e discepolo di Pier della Francesca scrisse e pubblicò nel 1494 il libro “De Divina Proportione” (relativo alla geometria architettonica) nel quale esamina anche i cinque solidi platonici e i solidi “semiregolari” di Archimede.

 

Escher, Rettili (1943)

Leonardo realizzò sessanta illustrazioni per il libro del frate francescano Luca Pacioli, in questi disegni Leonardo rappresentò i cinque poliedri regolari platonici e i loro derivati semplici e stellari, pieni e vuoti (ossia visualizzandone solo gli spigoli). Per poter eseguire correttamente questi lavori, egli dovette costruire dei modelli in legno dei solidi e studiarne le facce come proiezione del piano.

Da quegli anni fino a oggi queste forme perfette hanno stuzzicato l’immaginario dei grandi artisti, tramutando il loro fascino matematico in bellezza estetica.

In pratica…

Innumerevoli gli ambiti nei quali questi solidi fanno capolino, io ve ne propongo una sperimentazione pratica, che ho già applicato per la mia tesina.

Vi propongo dei modelli di solidi platonici realizzati con la tecnica dell’origami. Perché parlare di quanto siano forme precise e armoniche non rende la stessa meraviglia che si prova a realizzarli con le proprie mani, facendo esperienza di tanta arte geometrica.

Se volete cimentarvi nella costruzione origami di queste magnifiche forme naturali seguite il link!

Se volete provare a farli in maniera ancora più semplice vi lascio dei modelli da stampare e ritagliare di tutti e cinque i solidi: modelli da ritagliare.

Se invece volete disegnarli e non stamparli seguite la costruzione delle tre forme regolari di triangolo, quadrato e pentagono, seguendo le seguenti istruzioni:

Insomma, scegliete il metodo che più vi piace e fatevi autori di queste forme perfette!

Baci, e buon divertimento!

G.

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