Settembre è tempo di colori cangianti nella natura, sapori di stagione, e quella dolce aria di cambiamento che porta le prime fresche serate d’autunno. È anche tempo delle passeggiate al tramonto, dei piccoli lavori in casa, e inesorabilmente… di scuola.

Anche per chi ha finito il proprio percorso scolastico, settembre ha sempre quel fascino di “nuovo inizio” e nello stesso tempo di ritorno a qualcosa di familiare, che sia piacevole o meno. Per chi anche quest’anno, tra incertezza e perplessità, si ritroverà tra i banchi di scuola, abbiamo voluto scavare un po’ tra i ricordi di tanti anni fa, quando molti di noi erano giovanissimi o addirittura dei marmocchietti. E cosa siamo andati a scovare?

Già, perché insieme al nostro Giovanni di Pessimi Elementi ci siamo ricordati di quando, magari proprio a scuola grazie a qualche maestra, abbiamo visto per la prima volta “Paperino nel mondo della Matemagica” e di come abbia influenzato il rapporto di molti bimbi proprio con la tanto temuta matematica. Tutto questo prima che – come purtroppo accade ancora molto spesso – la scuola facesse sprofondare la nostra meraviglia di bambini di fronte ai colori e alle nozioni del cartone animato in un baratro di angoscia e disperazione.

Per recuperare quei momenti di spensieratezza e curiosità verso una materia tanto complessa quanto affascinante, ho chiesto a Giovanni di trattarmi come il nostro amato papero, e di spiegarci nuovamente come funziona il mondo della Matemagica.

Pronti all’avventura? Allora preparate carta e penna… Anzi, no, armatevi solo di mente aperta e una buona dose di immaginazione.

La matematica fa paura, lo sappiamo tutti, ma probabilmente è perché fin da piccoli vi è stata presentata in modo sbagliato, o forse dalla persona sbagliata, o entrambe le cose. Alt, non sto facendo di tutta l’erba un fascio. Ci sono senza dubbio innumerevoli professori più che validi nelle nostre scuole. Personalmente sono stato abbastanza sfortunato da questo punto di vista.

I numeri, entità che ci accompagnano nella vita di tutti i giorni, mi furono inizialmente presentati come una serie di amici colorati che giocavano insieme facendo “cose”. Ben presto tutto degenerò. Operazioni, tabelline, divisioni, riporti e riportini, resti, diagrammi… La mia giovane mente vacillava davanti a tanto caos, e non riuscivo a trovare una parvenza di logica in quello che mi facevano fare mentre stavo seduto sul banco. Rigorosamente su fogli a quadretti grossi, ché quelli piccoli li potevano usare solo i “bimbi grandi”. Non captavo il senso di tutto ciò, figuriamoci intuirne la bellezza. Quei simpatici amici colorati trasformarono ben presto nel mio peggiore incubo.

Perché devo passare i pomeriggi su queste cose? E chi le ha pensate? Ma la matematica serve davvero?

Solo con gli anni, attraverso il mio percorso di studi, la mia visione di questo mondo, solo apparentemente grigio e sterile, è cambiata radicalmente. E devo ammettere che in questo viaggio, Paperino nel mondo della Matemagica è stata una tappa tanto obbligata quanto fortuita.

Vi siete mai chiesti cosa sia un numero?
Uno, due, tre, dieci, cento, mille, quarantadue. Potremmo pensare che ogni numero sia un simbolo, ma non sarebbe tutta la verità. Certo, i numeri li esprimiamo anche attraverso simboli, ma il fatto è che ciascuno di essi nasconde un concetto, un’idea legata ad una certa quantità. Per esempio, io, uomo primitivo, per rappresentare in modo semplice e pratico il mio gregge di pecore, utilizzo trentasette sassolini. Un lupo sbrana 3 pecore, tolgo altrettanti sassolini. E così via. Capite il concetto? Ad un certo punto diventa comodo associare in modo univoco un concetto ad una quantità: il passo successivo è stabilire una convenzione, un simbolo per indicare in modo più agevole quel numero. Così avrete le tasche libere da sassolini per mettere magari una lente d’ingrandimento, o un binocolo.

Ed è proprio di un numero che vogliamo parlarvi in questo articolo. Paperino nel mondo della Matemagica ruota in gran parte attorno alla storia di un numero particolare, sebbene non venga mai enunciato in modo esplicito. La proporzione aurea vi dice nulla? Il cartone ce la propone in tutte le salse possibili ed immaginabili, ma rinfreschiamoci la memoria.

Immaginate di prendere un segmento. O un bastoncino, oppure un pezzo di corda. Quello che volete insomma. Il gioco consiste nel riuscire a dividerlo in modo tale che la parte più lunga risulti proporzionale a quella corta allo stesso modo in cui la somma delle due parti è proporzionale a quella più lunga. Se ci riuscite, otterrete una suddivisione tale per cui una sezione del vostro oggetto è proporzionata alla parte restante nella stessa misura in cui la parte maggiore lo è rispetto all’oggetto intero. Un’armonia tra le parti, e delle parti con il tutto, detta alla maniera dei Pitagorici, armonia che è possibile realizzare attraverso un unico, speciale numero: la costante aurea.

Come? Chi sono i Pitagorici? Il cartone ce li presenta come un’allegra banda jazz di signori in tunica, riuniti in una sorta di confraternita segreta. E non ci è andato poi così lontano: la scuola pitagorica fu fondata (indovinate un po’) proprio da Pitagora di Samo intorno al VI secolo a. C. Sì, proprio quel Pitagora a cui dobbiamo il famoso teorema sui triangoli rettangoli.

I Pitagorici non saranno stati così pittoreschi come li dipinge il cartone, ma per certo erano dediti alla matematica, alla musica e al misticismo: spesso le loro riunioni erano segrete, e per accedere ai loro luoghi di ritrovo era necessario essere muniti di parole segrete o qualche altro segno di riconoscimento. Ma torniamo adesso sul numero aureo. Questa quantità, più che nota ai discepoli di Pitagora, è associata ad un numero ben preciso: 1,618. O meglio, 1,6180339887… e così via. Se volete il numero esatto, non dovete fare altro che sommare uno alla radice quadrata di cinque, e dividere il tutto per due. Il problema, o meglio, la cosa curiosa è che le cifre decimali di questo numero sembrano non finire mai.

Infatti, il numero aureo, anche detto semplicemente φ (la lettera greca phi, in onore di Fidia, scultore e architetto ateniese), è un numero irrazionale: ciò significa che dopo la virgola è caratterizzato da una quantità infinita di decimali che non si ripetono mai nello stesso modo. Detto in modo più elegante, un numero è irrazionale se non lo si può esprimere come una frazione di due numeri interi (con il denominatore rigorosamente diverso da zero, altrimenti potreste creare un buco nero e distruggere la realtà).

Che la cosa vi piaccia o meno, il rapporto aureo si ritrova ovunque nel mondo della Grecia antica. Per qualche strana ragione, le forme che contengono rettangoli aurei, ovvero i cui lati sono in rapporto 1:1,618 oppure 1:0,618, appaiono ottimamente proporzionate ed estremamente gradevoli alla vista. Il Doriforo di Policleto, il Partenone di Atene, la Venere di Milo, ma anche la Gioconda di Leonardo, la Venere di Botticelli… Tutte queste opere sono state realizzate sulla base della proporzione aurea: il magico numero φ, nascosto nel loro impianto geometrico, garantisce un’armonia tra ciascuna parte, e allo stesso tempo con il tutto.

Adesso facciamo un altro gioco. Tranquilli, non stiamo saltando di palo in frasca, tra un attimo tutto vi sarà chiaro. Il gioco consiste nel creare una successione di numeri così costruita: partite da uno, e il termine successivo lo trovate sommando il numero che vi ritrovate al precedente. Vediamo di venirne a capo insieme: prima di uno non c’è nulla, uno più zero fa uno. Adesso prendete questo uno, e sommatelo all’uno da cui partivate: due. Due più uno tre, tre più due cinque, cinque più tre otto, e così via. I primi dieci termini della successione saranno quindi:

1    1+1= 2    2+1= 3   3+2= 5   5+3= 8   8+5= 13   13+8= 21    21+13= 34   34+21= 55    55+34= 89    …

1, 2, 3, 5, 8, 13,  21, 34, 55, 89… Probabilmente non vi diranno niente di particolare questi numeri. Tuttavia, si dà il caso che questa sequenza sia stata identificata già nel XIII secolo dal matematico pisano Leonardo Fibonacci come soluzione ad un problema ben preciso: predire la crescita di una popolazione di conigli che partisse da due soli individui. Assumendo le opportune ipotesi, si dimostra che effettivamente ad ogni generazione il numero totale di individui segue proprio questa sequenza.

Ma ora siete pronti per la magia? Facciamo un ultimo gioco e ci siamo. Costruiamo una nuova sequenza dividendo ciascun numero della successione di Fibonacci per il suo precedente:

2/1 = 2

3/2= 1,5

5/3= 1,66

8/5= 1,6

13/8= 1,625

21/13= 1,61538…

…

89/55= 1,61818…

Avete notato a cosa assomigli terribilmente il numero che via via si ottiene? Ma certo, proprio al numero aureo! Prendendo due termini consecutivi molto grandi e dividendoli, otterremmo un numero che si avvicina ancora di più a φ: per esempio 2584/1597 = 1,61803381340… Il risultato si discosta dal valore esatto di phi dalla sesta cifra decimale in poi. Ma se portaste questo processo all’estremo, trovereste che all’infinito questa frazione data da due numeri di Fibonacci consecutivi va a coincidere con il numero aureo in modo esatto.

Vedete quanto la matematica sia straordinaria? Partendo da due vie completamente diverse siamo giunti allo stesso risultato. E non è tutto! Costruendo una spirale seguendo la proporzione aurea, individuate un particolare tipo di spirale chiamato “spirale logaritmica”. La spirale aurea ne è solo un caso particolare: esistono infinite spirali logaritmiche che formano una sorta di grande famiglia. E pensate un po’, queste forme si ritrovano ovunque nella natura: i bracci delle galassie, la crescita delle piante e dei molluschi, nelle traiettorie di volo degli insetti… Questi sono solo alcuni degli esempi che ci dimostrano come la matematica non sia solo un miscuglio di formule strane, ma è il modo in cui funziona il cosmo, alla fine. Per dirlo con le parole di Galileo Galilei:

“La filosofia (intesa come le scienze naturali, ndr.) è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’Universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”

A volte è difficile distinguere un ordine nel caos della natura, ma ogni volta che qualcuno ci è riuscito l’umanità ne ha beneficiato in qualche modo. Non abbiate paura della matematica, è il migliore strumento che abbiamo per andare a scoprire le meraviglie del posto in cui viviamo, dall’abisso più profondo al pianeta più lontano.

 

Ed eccoci arrivati alla fine di questo nostro viaggio. Per merito del cortometraggio, tanti studenti hanno trovato una nuova via, tanto che “Paperino nel Mondo della Matemagica” è ancora considerato una pietra miliare dell’animazione a scopo educativo, e viene regolarmente visionato nelle scuole in giro per il mondo per  mostrare a grandi e piccoli come la matematica possa essere affascinante, e quante possibilità possa aprire davanti ai nostri occhi, e alle nostre menti.

Grazie al nostro Pessimo Elemento, che con le sua guida ci ha fatto tornare ancora una volta all’avventura col nostro Papero preferito: forse alcuni di noi potranno dire di aver ritrovato una curiosità tutta nuova nel guardare il mondo che ci circonda. E chissà, magari anche questa volta ci scopriremo aspiranti Matemagici. Speriamo di avervi incuriosito e divertito, vi aspettiamo per andare a caccia di spirali auree in giro!

Rowan e Gio